Round-Robin

Les compétitions de bridge s’appuient le plus souvent sur des organisations complexes visant à rendre équitable l’évaluation des performances d’un nombre d’équipes en lice souvent important. Le but est d’utiliser un système aussi parfait que possible et, à ce titre, lorsque le temps et la place le permettent, il est souhitable de faire disputer la compétition sous la forme d’une poule unique (Round-Robin pour les anglophones), c’est à dire le système où chaque équipe rencontre une fois chacune des autres. Pour un déroulement harmonieux, on rajoute une contrainte d’unité de temps: à un moment donné (qu’on appellera une « journée ») toutes les équipes disputent un match et il y aura autant de journées qu’il le faudra pour que chaque équipe finisse par rencontrer toutes les autres. La difficulté est d’établir le « calendrier » (surtout pour un grand nombre d’équipes) pour arriver à faire se disputer tous les matchs selon ce schéma.

Q1.  Donner une première condition triviale sur le nombre d’équipes pour que le mouvement soit possible.

Q2.  Si cette condition n’est malheureusement pas remplie, comment adapter la compétition pour qu’elle soit presque parfaite?

On ne va pas chercher à montrer qu’il existe une solution pour n’importe quel nombre pair d’équipes mais on va présenter un mouvement et chercher à démontrer qu’il convient. Ce mouvement, en forme de chenille, est représenté par cette figure:

schema1les Ei représentent les emplacements des matchs où s’affrontent les 2n équipes numérotées de 1 à 2n. La figure représente les oppositions de la 1e journée: par exemple, à l’emplacement E3 se déroule le match entre les équipes 3 et 2n-2. Les flèches indiquent les déplacements qui permettent, à partir d’une journée, de déduire les matchs de la journée suivante: l’équipe 2n ne bouge jamais et les 2n-1 autres équipe tournent en rond, en procession, en se déplaçant d’une case chaque journée comme indiqué par les flèches.

Q3.  Pour une poule de 2n équipes, combien y a-t-il de journées?

Q4.  Combien y a-t-il de matchs en tout dans la poule?

Q5.  Montrer que l’équipe 2n fixe rencontre chacune des autres.

Q6.  Montrer qu’aucune équipe « mobile » ne peut rencontrer plusieurs fois une autre équipe.

Q7.  En déduire que le mouvement est parfait pour le déroulement de la poule.

On est sûr de pouvoir mettre en évidence un calendrier de la poule pour n’importe quel nombre pair d’équipes mais on peut s’intéresser à des calendriers différents pour certains nombres particuliers d’équipes.
Q8.  Que peut-on ainsi imaginer pour un nombre « bissextile » de la forme 4p et en quoi cela peut-il présenter un intérêt particulier?

Q9.  Comment tirer parti d’un nombre d’équipes de la forme 3p+1?


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