Round-Robin (corrigé)

Q1.  Il faut que le nombre d’équipes soit pair sinon, à toute journée, il y aurait une équipe qui n’aurait pas d’adversaire.

Q2.  En cas de nombre impair d’équipes, on complète avec une équipe fantôme dont l’adversaire désigné pour chaque journée pourra se reposer. A la fin, chaque (vraie) équipe aura bien joué contre toutes les autres et aura été exempte une fois.

Q3.  Une poule de 2n équipes exige 2n-1 journées, autant que le nombre d’adversaires que chaque équipe doit rencontrer.

Q4.  Le nombre total de matchs à jouer dans la poule est n(2n-1). A chaque journée, il y a n matchs.

Q5.  L’équipe fixe (de numéro 2n) voit défiler en face de son emplacement E1 chacune des 2n-1 autres équipes dans l’ordre 1, 2n-1, 2n-2,…,3, 2.

Q6.  On prend une équipe mobile quelconque i; on sait déjà que cette équipe rencontre une fois et une seule l’équipe fixe 2n; prenons une autre équipe mobile j: si i et j ne se rencontrent jamais, forcément ça ne fera pas plusieurs fois! Sinon, elles vont se rencontrer une première fois une certaine journée; à ce moment là, elles sont sur le même emplacement, l’une dans la rangée du haut, l’autre dans celle du bas; les journées suivantes, tant qu’aucune des 2 ne changera de rangée, elles vont se déplacer en sens inverse et s’éloigner et, comme elles se déplacent d’une case à chaque fois, elles seront simultanément toutes les 2 sur un emplacement de même parité (simultanément pair ou simultanément impair). Ensuite si l’une prend un virage avant l’autre, elles vont se retrouver sur la même rangée, donc forcément sur des emplacements différents. Ensuite, quand elles auront viré une fois chacune, elles se retrouveront de nouveau sur des rangées différentes mais forcément l’une aura pris le virage de droite qui ne fait pas changer la parité de l’emplacement (passage de En à En) et l’autre le virage de gauche qui fait changer de parité (passage de E2 à E1), donc tant qu’elles resteront sur ces rangées, elles seront, cette fois, sur des emplacements de parité différente et ne pourront pas se rencontrer. Elles ne pourraient ensuite se rencontrer qu’après avoir pris chacune un 2e virage, et cela interviendrait après avoir effectué un tour complet, c’est à dire 2n journées après leur rencontre initiale; trop tard puisque la poule n’a que 2n-1 journées.

Q7. On a vu qu’aucun match ne peut se répéter. Chaque équipe rencontre donc 0 ou 1 fois chacune des 2n-1 autres équipes. On focalise sur une équipe: supposons qu’il y en ait j qu’elle rencontre 0 fois et (2n-1-j) 1 fois, cela lui ferait un nombre total de matchs disputés de 0.j+1.(2n-1-j)=2n-1-j; or elle a disputé 1 match à chacune des 2n-1 journées, c’est donc que j=0. Chaque équipe a bien rencontré une fois et une seule chacune des autres.

Q8.  On va séparer les 4p équipes en 2 groupes de 2p équipes et le calendrier en 2 phases. 1e phase, chaque groupe de 2p dispute séparément une poule, par exemple selon le schéma de la chenille. Cette phase dure donc 2p-1 journées. 2e phase: chaque équipe d’un groupe va jouer un match contre chacune des 2p équipes de l’autre groupe; le mouvement est simple à mettre en œuvre: les équipes du 2e groupe défilent à la queue-leu-leu devant les équipes immobiles de l’autre groupe. Cette 2e phase dure 2p journées, ce qui en fait 4p-1 en tout et chaque équipe a rencontré 1 fois chacune des autres. L’intérêt pratique est que la 1e phase peut se dérouler en 2p-1 journées situées en 2 lieux distincts, 1 pour chaque sous-poule.

Q9. Pour 3p+1 on peut faire un peu comme pour 4p. D’abord, on remarque que p est impair puisque 3p+1 doit être pair. On sépare les équipes en 3 groupes (A, B et C) de p, plus une équipe dite « pivot » et le calendrier aura 3 phases. 1e phase: l’équipe pivot se joint au groupe A pour former une mini-poule de p+1 qui va disputer tous ses matchs en p journées. En même temps, chaque équipe du groupe B rencontre chaque équipe du groupe C, ce qui occupe aussi p journées. Les 2e et 3e phases se déroulent selon le même scénario, avec le pivot qui se joint au groupe B puis au C pour disputer une poule tandis que les 2 autres groupes jouent l’un contre l’autre. Au total 3 phases de p journées; chaque équipe a joué contre les 3p autres et on peut aussi faire disputer l’ensemble de chacune des 3 phases en 2 lieux distincts.


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