Probas de répartitions

Le bridge se prête très bien à des calculs de probabilité sur des ensembles de taille finie, qui se résolvent par des dénombrements. L’ensemble des donnes de bridge qu’il est possible de distribuer est d’une très grande taille (environ 1030) mais ce nombre d’éléments est fini. Un calcul de probas, dans le bridge, va consister à comparer le nombre de mains possédant une certaine propriété au nombre total de mains susceptibles de présenter cette propriété, en utilisant le fait que toutes les mains considérées sont équiprobables. Les nombres à comparer seront en général très grands mais leur comparaison permettra de nombreuses simplifications (symétries, regroupements de sous-ensembles, facteurs communs…) qui faciliteront les calculs.
L’exercice proposé traite la répartition des cartes d’une certaine couleur entre 2 mains.
La question est très pratique et se pose sans arrêt: il s’agit du jeu de la carte, le déclarant voit sa main et celle du mort et se pose la question du nombre de cartes détenues dans une certaine couleur par les adversaires dont les mains sont cachées.
Considérons tout de suite un cas particulier en prenant 2 mains précises, celle du déclarant et celle du mort:

♠  AD754         ♠  2
♥  V83           ♥  R10
♦  AR95          ♦  87642
♣  9             ♣  AR732

et la question porte sur les carreaux: il en manque 4, quelle est la probabilité qu’un adversaire, disons Sud, en ait un certain nombre?
L’intérêt de la solution n’est pas tant le résultat final que les simplifications qui rendent le calcul moins fastidieux.
Q1.  Combien de carreaux Sud peut-il avoir?
Q2.  Que peut-on dire de l’emplacement du 3 de carreau?
Q3.   Que dire des probas que Sud en ait 0 ou qu’il en ait 4?
Q4.  Combien T de mains différentes Sud peut-il avoir?
Q5.  Combien M(0) de mains différentes ne contenant aucun carreau, Sud peut-il avoir? Idem pour M(1), M(2), M(3), M(4).
Q6.  Quelle relation existe-t-il entre les nombres calculés en Q4 et Q5?
Q7.  Quelles sont les probas P que Sud détienne 0, 1, 2, 3 ou 4 cartes à carreau?
Q8.  En fait, souvent le déclarant ne s’intéresse pas au nombre de cartes détenues par un joueur précis mais au fait que la couleur soit plus ou moins équitablement répartie entre les 2 adversaires. Calculer les probas que les carreaux soient répartis 2-2, 3-1 ou 4-0 entre Nord et Sud.

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