Probas de répartitions (corrigé)

Q1.  Sud peut avoir 0, 1, 2, 3 ou 4 carreaux

Q2.  Le 3 de carreau a 1 chance sur 2 d’être en Nord et autant d’être en Sud, comme chacune des autres 25 cartes inconnues. Sur ces 26 cartes, qui sont celles qu’on ne voit pas, porte seulement une contrainte supplémentaire, c’est qu’elles doivent se partager équitablement entre Nord et Sud: 13 de chaque côté.

Q3.  Par symétrie, les probas que Sud ait 0 et 4 carreaux sont égales; si Sud en a 0, c’est que Nord en a 4, et Nord et Sud jouent des rôles symétriques.

Q4.  Sud peutl avoir beaucoup de mains différentes! Plus exactement, le nombre de choix possibles de 13 des 26 cartes inconnues, c’est à direfor1Concrètement, le choix d’une 1e carte se fait parmi les 26 cartes possibles puis celui d’une 2e parmi les 25 restantes,…, puis celui de la 13e parmi les 14 encore restantes. Mais ainsi, on obtient plusieurs fois les mêmes mains avec leurs cartes rangées dans des ordres différents et il y a 13! façon de ranger une main de 13 cartes (13 façons de choisir laquelle mettre tout à gauche, puis 12 d’en mettre une 2e juste à côté, etc..).

Q5. Le dénombrement commence à se compliquer puisqu’on descend maintenant au niveau de l’individualisation des couleurs. Première simplification: en application de Q3 on peut déjà écrire M(4)=M(0) et M(3)=M(1). Ensuite, on n’a pas besoin de faire un raisonnement isolant chacune des 3 couleurs, il suffit de séparer les 26 cartes inconnues en 2 groupes, celui des carreaux qui contient 4 éléments et celui de l’ensemble des 3 autres couleurs qui contient le reste des cartes, soit 22 éléments. Le nombre de mains contenant 0 carreau sera encore un très grand nombre, c’est le nombre  de choix possibles de 13 cartes en en prenant 0 dans le groupe des 4 carreaux et 13 dans celui des 22 autres cartes, soit:for2Q6.  Les ensembles de mains contenant 0, 1, 2, 3 et 4 carreaux constituent une partition de l’ensemble des mains possibles en Sud, d’où T=M(0)+M(1)+M(2)+M(3)+M(4)

Q7.  Pour calculer les probas P que Sud détienne 0, 1, 2, 3 ou 4 cartes à carreau, on applique le principe énoncé dans le préambule: proba = nombre de mains pertinentes sur nombre total de mains, soit: P(i)=M(i)/T. Pour faire le calcul explicite on va regrouper les facteurs numériques apparaissant dans les expressions de tous les M(i) et utiliser l’égalité:
P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1
Le groupement commun à tous les M(i) est: C=(22x21x20….x12)/11!
M(0)=M(4)= C x (11×10)/(13×12)
M(1)=M(3)= C x 4×11/12
M(2)= C x 4×3/2
Pour clarifier encore, on fait sauter les dénominateurs en prenant K=1/(6×13)
M(0)=M(4)= 55 CK
M(1)=M(3)= 286 CK
M(2)= 468 CK
et donc T=2M(0)+2M(1)+M(2)=1150 CK
Ce qui permet enfin de calculer facilement:
P(0)=P(4) = 55/1150 =  4,78%
P(1)=P(3) = 286/1150 = 24,87%
P(2)= 468/1150 = 40,70%

Q8.
P(2-2)=P(2)=468/1150= 40,70%
P(3-1)=P(1)+P(3) = 49,74%
P(4-0)= P(0)+P(4) = 9,56%

 

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