Mains extrêmes (corrigé)

Mains très fortes:

– D’abord, un petit tour d’horizon des cartes qui « comptent »: il y en a 16 (4 par couleur) sur les 52. Ensuite le total des points disponibles: 40 = 4×4 + 4×3 + 4×2 + 4×1
On voit que 40 ne peut être atteint dans une main puisqu’elle contient moins de 16 cartes! Puis, on voit qu’au mieux, les 13 cartes peuvent être 4 As, 4 rois, 4 dames et 1 valet soit 37 points.

– Pour atteindre 37, les 4 as, rois et dames sont « obligés » et le valet peut être de l’une ou l’autre des 4 couleurs, d’où la réponse: il existe 4 mains de 37

– Ensuite, les mains de 36, plusieurs approches:
a) on peut se demander quelles cartes sont indispensables: si on n’a pas les 4 as et les 4 rois, on n’y arrivera pas, puis on complète avec ce qu’on peut pour faire 8 points avec 5 autres cartes.
b) on peut se demander qu’est-ce qu’on peut changer dans une main de 37 pour ne « perdre » qu’un seul point: soit remplacer le valet par une carte sans valeur, soit remplacer une dame par un valet. Cette démarche est plus prometteuse pour obtenir simplement le résultat.
On inventorie alors les mains de 36 qui sont de 2 sortes:

ARD   et     4 As, 4 rois, 3 dames et 2 valets, soit   ARD          AR
ARD                                                    ARD    ou    ARD
ARD                                                    ARV          ARDV
ARDx                                                   ARDV         ARDV

de la 1e sorte, on en dénombre 36 (le x est l’une des 36 cartes comptant pour du beurre).
de la 2e sorte, il y en a 24=6×4 (4 choix pour la dame manquante et 6 choix pour la combinaison de 2 valets).
D’où la réponse à la question: 60

Mains misérables:

– Des mains de 0, il y en a et même beaucoup: il suffit qu’elles soient constituées de 13 des 36 cartes qui comptent pour 0 (les cartes du 2 au 10 dans chacune des couleurs).
Leur nombre correspond au nombre de façons de sélectionner 13 cartes parmi 36, c’est à dire:
– C3613 = 36x35x34x…25×24/13x12x11x…x2x1 = 9 243 158 400, environ 1010

– Pour les Yarborough, c’est la même chose, sauf que les 10 étant interdits, il n’y a plus que 32 (au lieu de 36) cartes disponibles; et leur nombre est toujours colossal:
C3213 = 32x31x30x…21×20/13x12x11x…x2x1 = 347 373 600, de l’ordre de 108

En fait, il y a de la place pour continuer: on pourrait aussi interdire les 9, les 8, les 7 et jusqu’aux 6. Il n’y a qu’ à partir du 5 qu’il devient impossible de construire une main qui n’ait aucune carte aussi haute, et des mains avec seulement des 2, 3, 4 et 5, il y en a, toujours avec le même raisonnement:
C1613 = 16x15x14x…5×4/13x12x11x…x2x1 ou, plus simplement autant que de façons de laisser de côté 3 des 16 cartes disponibles
= C163 = 16x15x14/3x2x1 = 560 enfin un nombre raisonnable

Retour à l’énoncé

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