Espace disponible pour enchérir

Le principe des enchères tient à son nom: elles commencent à 1T et peuvent aller jusqu’à 7SA et chaque joueur, à son tour, peut se taire ou couvrir la dernière enchère produite par un autre joueur. Il y a aussi la possibilité de contrer ou surcontrer mais ce n’est qu’un raffinement du mécanisme; enfin par « couvrir », on entend « faire une enchère à un niveau plus élevé », par exemple 2T et 2P couvrent 1C, 2P couvre 2C, mais 2C ne couvre pas 2P; enfin, tout se termine quand 3 joueurs passent consécutivement.
Le vocabulaire n’est pas extrêmement foisonnant (38 mots seulement avec les enchères de 1T à 7SA, passe, contre et surcontre) mais leurs multiples combinaisons possibles font qu’on peut recenser un nombre gigantesque de séquences d’enchères possibles, de l’ordre de 1048, bien plus grand encore que le nombre de donnes différentes 1030. Les enchères servent à échanger de l’information et plus on dispose de séquences d’enchères disponibles dans une situation donnée, mieux on peut communiquer. On s’attache ici à les dénombrer dans des situations simplifiées:
– celles des « enchères à 2 » où 2 partenaires font successivement des enchères alors que leurs 2 adversaires les laissent tranquilles en ne produisant que des « passes ».
– entre 2 paliers fixés séparés par une certaine distance, ainsi définis sur un exemple: si les 2 paliers sont 2P et 3SA, cela veut dire que 2P a été la dernière enchère faite et qu’on demande de dénombrer toutes les séquences possibles qui commencent au moins à 2SA et qui se terminent exactement à 3SA. Pour la distance entre les 2 paliers, on choisira arbitrairement le nombre d’intervalles les séparant, par exemple la distance est 2 entre 3K et 3P.

Exercice d’échauffement:
Q1. Quelle est la distance entre les paliers 2P et 3SA?
Q2.  Dans quel ensemble de nombres la distance prend-elle ses valeurs?
Q3.  Montrer que le nombre de séquences possibles entre 2 paliers ne dépend pas des paliers eux-mêmes mais seulement de leur distance.

Initialisation:
Q4. Combien de séquences entre 3K et 3C (distance 1)? Les lister.
Q5. Combien de séquences entre 3K et 3P (distance 2)? Les lister.
Q6. Combien de séquences entre 3K et 3K (distance 0)? Lesquelles?

Récurrence:
Q7. Si S(n) est le nombre de séquences possibles entre 2 paliers séparés par la distance n, que peut-on en déduire pour S(n+1)?
Q8. En déduire l’expression analytique de S(n).

Exercice sur les séquences-relais
Il s’agit de refaire un dénombrement entre les mêmes paliers, mais pour des séquences plus particulières. Ce seront des séquences toujours « à 2 » (avec des adversaires muets) mais où les 2 joueurs n’ont pas des rôles symétriques car ils fonctionnent en mode « maître-esclave », c’est à dire que l’un d’eux fait des enchères informatives alors que l’autre se contente de l’inviter à continuer sa description, en faisant des « relais », ce qui revient à faire, chaque fois l’enchère juste au-dessus pour simplement garder le dialogue ouvert. Ainsi, quand on considère les séquences-relais entre 2P et 3SA, cela veut dire qu’on considère qu’elles sont lancées par un relais préliminaire fait à 2P, sur lequel l’esclave (ou émetteur) va faire une 1e enchère informative qui peut-être 2SA, 3T… et va se terminer, après une série de relais du maître (ou récepteur) à 3SA et donc que la dernière enchère de l’émetteur sera soit 3P soit 3SA. Par exemple (avec esclave à gauche et maître à droite)

           (2P)                                   (2P)
   3T       3K            ou           2SA         3T
   3C       3P                         3P         3SA
  3SA

Mêmes questions que précédemment, avec ces nouvelles conditions de séquences à relais:
Q9.  Combien de séquences entre 3K et 3C (distance 1)? Les lister.
Q10.  Combien de séquences entre 3K et 3P (distance 2)? Les lister.
Q11.  Combien de séquences entre 3K et 3K (distance 0)? Lesquelles?
Q12.  Combien de séquences entre 3K et 3SA (distance 3)? Lesquelles?

Récurrence:
Q13.  Si R(n) est le nombre de séquences-relais possibles entre 2 paliers séparés par la distance n, que peut-on en déduire pour R(n+1)?

Synthèse:
Q14.  Représenter dans un tableau les valeurs de S et R pour les valeurs n de 0 à 15

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

enchères à 2
enchères à 1

Q15.  Quelle relation existe-t-il entre l’ensemble S des séquences en enchères à 2 et celui R des séquences-relais (ou enchères à 1)?


Réponses

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