De par en par

Définitions:  La notion de « par » vient du golf où il désigne le score normal sur un trou. On peut dire que c’est le nombre de coups que mettra le joueur s’il fait de son mieux et si le parcours fait aussi de son mieux pour lui résister.
C’est dans ce sens qu’on a recyclé le mot au bridge: il correspond au résultat optimal obtenu quand les 2 paires qui s’affrontent jouent au mieux de leurs intérêts. Il intervient d’ailleurs à 2 niveaux: pour un contrat donné, il existe un par correspondant aux nombre de levées réalisées par les 2 camps, c’est le par du contrat; pour une donne, il existe un autre par, correspondant au contrat optimal à atteindre, le par de la donne.
On va s’intéresser au 1er. D’abord, le bridge est ce qu’on appelle un jeu à somme nulle: il met en scène 2 « concurrents » (les 2 paires qui se font face et qu’on appellera NS et EO) dont les intérêts sont contradictoires: quand l’un obtient un score n, l’autre se voit octroyer le score –n; toute action qui, à un moment du déroulement du jeu, est favorable à l’un, est défavorable à l’autre. En outre, le déroulement du jeu est saccadé: chacun des 2 concurrents est amené, à tour de rôle, à choisir une action parmi un certain nombre d’actions qui se présentent à lui. Ces caractéristiques font que le par du contrat s’obtient par le procédé d’optimisation dit du « minimax ». Un ensemble (d’évènements) est partitionné en sous-ensembles. Le calcul du « minimax » consiste à déterminer, dans un premier temps, le maximum de chaque sous-ensemble, puis à retenir le plus petit élément de l’ensemble de ces maximums. Et le processus peut même se répéter plusieurs fois, à la manière de poupées russes.

Q0.  (familiarisation avec le minimax)
E est un ensemble de nombres entiers, découpé en 4 sous-ensembles E1, E2, E3, E4. E = E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4. Calculer le minimax de ce système, c’est à dire le plus petit des 4 nombres max(E1), max(E2), max(E3), max(E4). La science ne connaissant aucune limite, calculer ensuite son maximin.

E1={8, -3, 5, 14, 0, 7}
E2={3, -1, 8, -6, 5}
E3={4, 9, 3, 1}
E4={-2, 8, 0, -4, -1, 9, 66}

diag1

Voici un exemple de détermination du par d’un contrat par la méthode du minimax, dans une configuration limitée à 2 cartes par joueur:
Le jeu est à Sans-Atout, la main est en Nord. Pour faire les calculs en mode « minimax », il faut construire l’arbre complet de tous les scénarios possibles pour ces 2 levées: Nord d’abord peut jouer le 7♠ ou le 2♥. Dans chaque cas, Est peut jouer l’une ou l’autre de ses cartes puis Sud aussi à son tour et enfin Ouest doit jouer forcément le 5♥ si Nord a attaqué du 2♥ mais a le choix entre ses 2 cartes si Nord a attaqué du 7♠. Enfin, la 2e levée est imposée, chacun n’ayant plus qu’une seule carte et aucun choix possible. On a finalement 12 scénarios possibles, les 12 feuilles de l’arbre:

graphe1Une fois l’arbre construit, on évalue le nombre de levées réalisées par NS (0, 1 ou 2), dans la colonne tout à droite en fonction du déroulement du jeu pour la feuille considérée. Par exemple, pour la ligne la plus en haut, Nord joue le 7♠, puis Est le 8♠, Sud le 9♠, Ouest défausse le 5♥; Sud a donc fait la 1e levée avec le 9♠ et il fait aussi la 2e avec le 5♠, d’où le nombre 2 inscrit en bleu à droite. Ensuite, on procède à l’optimisation en minimax en se déplaçant de droite à gauche. Dans la colonne S, on va inscrire (en rouge dans chacun des 8 embranchements) la plus petite des valeurs (en bleu) correspondant au choix par Ouest de son action la plus favorable, celle qui offre le moins de levées à NS; par exemple (lignes 7 et 8 sur fond jaune), Ouest ayant le choix entre défausser le 5♥ qui donne 2 levées ou le 6♦ qui donne 1 levée, doit choisir le 6♦ et cela induit le 1 inscrit à gauche en regard du 5♠. On continue de proche en proche, vers la gauche, en calculant alternativement des maxi (en bleu) et des mini (en rouge) jusqu’au tronc de l’arbre où on obtient finalement le par du contrat: le 1 bleu tout à gauche. Ensuite, si on veut savoir comment s’obtient ce par, il faut suivre un chemin (de gauche à droite cette fois) qui ne passe que par des 1. Ici, on voit qu’il y a 3 chemins compatibles, qui correspondent à un jeu optimal des 2 camps: 7♠-2♠-9♠-5♥, 7♠-2♠-9♠-6♦ et 7♠-2♠-5♠-6♦.

On peut aussi, au lieu de la méthode automatique du minimax, faire, de manière pratique, un raisonnement élaboré qui élimine les chemins absurdes: si Nord joue le 2♥, c’est suicidaire, il offre les 2 levées à Ouest, donc il va jouer le 7♠; si Est couvre du 8♠, il permet à Sud de faire 2 levées de ♠, donc, il ne couvre pas; si ensuite Sud prend la levée du 9♠, il doit rendre la 2e levée à Est, donc il va laisser le 7♠ maître; enfin Ouest a intérêt à garder le 5♥ pour faire la 2e levée, donc il défausse le 6♦; résultat: le par est 1 levée pour NS.

Q1.

diag2
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Pour le diagramme ci-contre, déterminer le par de ce contrat: jeu à Sans-Atout, la main est en Nord et il y a 3 levées à jouer, c’est à dire quel va être le nombre de levées pour le camp NS si tout le monde joue au mieux? ce qui suppose, soit dit en passant, que les joueurs voient les 4 jeux.

liaisonLe par d’un contrat est le par au moment où l’atout étant connu, l’entameur étant connu, on va commencer à jouer la 1e levée.

Q2.  Montrer que le par du contrat existe toujours.

Le par de la donne est un équilibre qui dépend du choix du contrat: c’est le score optimal du point de vue des intérêts de chaque camp.

Q3.  Montrer que le par de la donne existe toujours.

Q4.  Combien existe-t-il de contrats possibles à analyser pour la détermination du par de la donne?

Q5.  Le par de la donne peut-il être un contrat surcontré?


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